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动态模拟轨迹方程式


2020-06-19


在高中圆锥曲线的教材中,有一个教学目标为让学生了解何谓轨迹方程式。藉由题目的设计,同时也让学生理解圆锥曲线的来源,不是只有平面与圆锥的截痕,也不是只有按照定义方式才能得到。但是在学习过程中,学生们并不容易理解何谓动点(或动圆)?何谓轨迹?也很难从题目提供的条件「视觉化」的理解轨迹图形为何?因此如果教师能够藉由电脑软体的模拟效果,将可让学生轻易地经由「视觉」来理解几何概念。以下为笔者整理在此单元教学时看过的几个有关轨迹方程式的问题(问题来源皆为南一版学习讲义第四册),并试着以GeoGebra软体来作动态模拟。

抛物线

问题:设一动圆和直线 \(L:x+2=0\) 相切,且与圆 \(C:(x-4)^2+y^2=4\) 外切,求此动圆之圆心所成图形的方程式。

作图步骤:

动态模拟轨迹方程式 动态模拟轨迹方程式

模拟过程:

动态模拟轨迹方程式 动态模拟轨迹方程式

椭圆

问题1:求与圆 \(C_1:(x-2)^2+y^2=1\) 外切,且与圆 \(C_2:(x+2)^2+y^2=49\) 内切之所有圆的圆心所成的图形方程式。

作图步骤:

动态模拟轨迹方程式 动态模拟轨迹方程式

模拟过程:

以 \(P\) 点为圆心,\(\overline{PQ}\) 为半径作圆,此圆即与圆 \(C_1\) 外切,又与圆 \(C_2\) 内切的圆。此时可在此圆上按右键以显示轨迹,让 \(Q\) 点沿着圆 \(C_2\) 移动,即可看到这样的圆跟着变成另一个,圆心也跟着变化。取消圆的轨迹,换成显示 \(P\) 点的轨迹,让 \(Q\) 点沿着圆 \(C_2\) 移动,\(P\) 点的轨迹就可清楚看出为一椭圆。

动态模拟轨迹方程式 动态模拟轨迹方程式

问题2:设 \(\overline{AB}=5\),若 \(A\) 点在 \(x\) 轴上移动,\(B\) 点在 \(y\) 轴上移动,\(P\) 点在 \(\overline{AB}\) 上,且 \(\overline{AP}:\overline{BP}=3:2\),求 \(P\) 点所成图形的方程式。

作图步骤:

动态模拟轨迹方程式 动态模拟轨迹方程式

双曲线

问题:设两圆 \(C_1:(x-5)^2+y^2=1\) 与 \(C_2:(x+5)^2+y^2=49\),求与圆 \(C_1\)、\(C_2\) 均内切或外切的动圆之圆心 \(P\) 所成图形的方程式。

作图步骤:

动态模拟轨迹方程式 动态模拟轨迹方程式

模拟过程:

以 \(P\) 点为圆心,\(\overline{PQ}\) 为半径作圆,此圆即与同时与圆 \(C_1\)、\(C_2\) 外切,或是同时与圆 \(C_1\)、\(C_2\) 内切的圆。此时可在此圆上按右键以显示轨迹,让 \(Q\) 点沿着圆 \(C_2\) 移动,即可看到这样的圆跟着变成另一个,圆心也跟着变化。取消圆的轨迹,换成显示 \(P\) 点的轨迹,让 \(Q\) 点沿着圆 \(C_2\) 移动,\(P\) 点的轨迹就可清楚看出为一椭圆。

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